Question

如圖所示，已知點(diǎn)M（a，3）是拋物線y²=4x上一定點(diǎn)，直線AM、BM的斜率互為相反數(shù)，且與拋物線另交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M到其準(zhǔn)線的距離；
（2）求證：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得3²=4a，a=

9

4

，由此能求出點(diǎn)M到其準(zhǔn)線的距離．
（2）設(shè)直線MA的方程為：y-3=k(x-

9

4

)，聯(lián)立

y-3=k(x- 9 4 ) y2=4x

，得y2-

4

k

y+

12

k

-9=0，由已知條件推導(dǎo)出yA=

4

k

-3，yB=

4

-k

-3，由此能證明直線AB的斜率為定值．

解答： （1）解：∵M(jìn)（a，3）是拋物線y²=4x上一定點(diǎn)
∴3²=4a，a=

9

4

∵拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1
∴點(diǎn)M到其準(zhǔn)線的距離為：

9

4

-(-1)=

13

4

．
（2）證明：由題知直線MA、MB的斜率存在且不為0，
設(shè)直線MA的方程為：y-3=k(x-

9

4

)，
聯(lián)立

y-3=k(x- 9 4 ) y2=4x

，得y2-

4

k

y+

12

k

-9=0，
∵yA+3=

4

k

，∴yA=

4

k

-3，
∵直線AM、BM的斜率互為相反數(shù)
∴直線MA的方程為：y-3=-k（x-

9

4

），
同理可得：yB=

4

-k

-3，
∴kAB=

yB-yA

xB-xA

=

yB-yA

yB2 4 - yA2 4

=

4

yB+yA

=

4

4 -k -3+ 4 k -3

=-

2

3

，
∴直線AB的斜率為定值-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的求法，考查直線的斜率這定理的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．