Question

19．如圖所示，棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，且AC=C₁C，其中點F，D分別為AC₁，B₁B的中點．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：DF⊥平面ACC₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明DF∥平面ABC；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面ACC₁．

解答 （1）證明：取AC的中點O，連結(jié)BO．
在△ACC₁中，F(xiàn)O∥C₁C，F(xiàn)O=$\frac{1}{2}$C₁C，
又據(jù)題意知，BD∥C₁C，BD=$\frac{1}{2}$C₁C，
∴FO∥BD，F(xiàn)O=BD，
∴四邊形FOBD為平行四邊形．（4分）
∴DF∥OB，
又DF?平面ABC，OB?平面ABC．
∴DF∥平面ABC．           （6分）
（2）證明：∵棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，
又∵BO?平面ABC，
∴BO⊥C₁C；      （8分）
∵△ABC是正三角形且AO=OC，
∴BO⊥AC，（10分）
∵BO⊥C₁C，BO⊥AC且AC∩C₁C=C，
AC．C₁C?平面AC₁C，
∴BO⊥平面A  C₁C，（11分）
又∵FD∥BO，
∴DF⊥平面A C₁C．        （12分）

點評 本題考查線線，線面關(guān)系和二面角的求解，考查學(xué)生空間思維能力和綜合分析能力等