Question

6．如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD=4，PD⊥底面ABCD．
（1）證明：PA⊥BD；
（2）求三棱錐D-PBC的高．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)椤螪AB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}AD$，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據(jù)PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可證PA⊥BD；
（2）利用等積法，得到V_D-PBC=B_P-BCD，分別求出對(duì)應(yīng)的底面積和高，解方程即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠DAB=60°，AB=2AD=4，
∴余弦定理得BD=$\sqrt{3}AD$=2$\sqrt{3}$，
從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，
∴BD⊥平面PAD．
故PA⊥BD．
（2）∵BD⊥AD，
∴△BCD是直角三角形，
∵BD⊥AD，PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥BC，BC⊥BD，
則BC⊥平面PBD，
∴BC⊥PB，
即△PBC是直角三角形，
∵AB=2AD=2PD=4，
∴CD=4，AD=2，PD=2，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}$=4
則S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•BC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$PB•BC=$\frac{1}{2}×4×2$=4，
設(shè)三棱錐D-PBC的高為h，
則V_D-PBC=B_P-BCD，
即$\frac{1}{3}$PD•S_△BCD=$\frac{1}{3}$hS_△PBC，
即2×$2\sqrt{3}$=4h，
則h=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，棱錐高的求解，利用體積相等，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．