Question

16．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，則弦長|AB|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，化為ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，
代入拋物線方程可得：3m²-8m-16=0，利用|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$即可得出．

解答 解：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，化為ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：y²=4x．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，
代入拋物線方程可得：3m²-8m-16=0，
∴m₁+m₂=$\frac{8}{3}$，m₁m₂=$-\frac{16}{3}$．
∴|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}-4×（-\frac{16}{3}）}$=$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．