Question

20．若函數(shù)f（x）=1+log₂x，x∈[1，4]，則函數(shù)g（x）=f²（x）+f（x²）的最大值是（　�。�

• A． 11
• B． 9
• C． 7
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵g（x）=f²（x）+f（x²）
∴由$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤x≤2或-2≤x≤-1}\end{array}\right.$，
解得1≤x≤2，
則g（x）=f²（x）+f（x²）=（1+log₂x）²+1+log₂x²=（1+log₂x）²+1+2log₂x，
設(shè)t=log₂x，則0≤t≤1，
即函數(shù)等價(jià)為y=（1+t）²+1+2t=t²+4t+2=（t+2）²-2，
∵0≤t≤1，
∴當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最大值y=1+4+2=7，
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，利用換元法結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵注意要根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系先求函數(shù)的定義域，否則容易出錯(cuò)．