Question

【題目】某學校為進行“陽光運動一小時”活動，計劃在一塊直角三角形的空地上修建一個占地面積為（平方米）的矩形健身場地。如圖，點在上，點在上，且點在斜邊上，已知米，米，，設矩形健身場地每平方米的造價為元，再把矩形以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價為元（為正的常數(shù)）.

（1）試用表示，并指出如何設計矩形的長和寬，才能使得矩形的面積最大，且求出的最大值；

（2）求總造價關于面積的函數(shù)，說明如何選取，使總造價最低（不要求求出最低造價）.

Answer 1

【答案】(1) ，，當米，米時，才能使得矩形的面積最大且最大值為平方米.

(2) ，，當或18米時，使總造價最低.

【解析】

（1）在△中，求出,利用即可求出解析式，利用二次函數(shù)的圖象與性質即可求解；

（2）求出△的面積，即可表示出陰影部分的面積，結合題意即可求出總造價的解析式，結合基本不等式求最值，即可求解.

(1)在△中，，所以，.根據二次函數(shù)的圖象與性質可知，當時，有最大值為，所以當米，米時，才能使得矩形的面積最大且最大值為平方米.

（2）在△中，，所以△的面積為，則矩形健身場地的造價為，草坪的造價為，所以總造價關于面積的函數(shù)，由（1）知，，故，由基本不等式可知，當且僅當取等號，令或18，所以當或18米時，使總造價最低.