【題目】如圖,在直四棱柱中,四邊形是平行四邊形,且.
(1)證明:平面;
(2)若與平面所成的角為45°,是的中點(diǎn),求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)要證直線與平面平行,需證直線與平面內(nèi)一條直線平行;
(2)先找出與平面所成的角,求得相關(guān)線段的長(zhǎng),再找出異面直線所成的角或其補(bǔ)角,利用余弦定理求解即可.
(1)連接,記,連接,
∵是直四棱柱,
∴,且,
∵分別是的中點(diǎn),
∴,且,
∴四邊形是平行四邊形,
∴,
∵平面平面,
∴平面.
(2)過(guò)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接,
則平面為與平面所成的角.
不妨設(shè),則,
在中,,
∴.
∵與平面所成的角為45°,∴,
∴,∴.
取的中點(diǎn),連接,
則為直線與所成的角或其補(bǔ)角.
易知,
,
,
∴,
故異面直線與所成角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《周禮夏官馬質(zhì)》中記載“馬量三物:一日戎馬,二日田馬,三日駑馬”,其意思為馬按照品種可以分為三個(gè)等級(jí),一等馬為戎馬,二等馬為田馬,三等馬為駑馬.假設(shè)在唐朝的某個(gè)王爺要將7匹馬(戎馬3匹,田馬、駑馬各2匹)賞賜給甲、乙、丙3人,每人至少2匹,則甲和乙都得到一等馬的分法總數(shù)為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合,從P中任取2個(gè)元素,分別記為a,b.
(1)若,隨機(jī)變量X表示ab被3除的余數(shù),求的概率;
(2)若(且),隨機(jī)變量Y表示被5除的余數(shù),求Y的概率分布及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且與直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程;
(2)若為橢圓上任意-點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到直線距離最小時(shí),求點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論的極值;
(2)當(dāng)且時(shí),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,分別是棱,的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且,,.
(1)求證:平面;
(2)當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎,其病原體是一種先前未在人類中發(fā)現(xiàn)的新型冠狀病毒,即2019新型冠狀病毒.2020年2月7日,國(guó)家衛(wèi)健委決定將“新型冠狀病毒感染的肺炎”暫命名為“新型冠狀病毒肺炎”,簡(jiǎn)稱“新冠肺炎”.患者初始癥狀多為發(fā)熱、乏力和干咳,并逐漸出現(xiàn)呼吸困難等嚴(yán)重表現(xiàn).基于目前流行病學(xué)調(diào)查,潛伏期為1~14天,潛伏期具有傳染性,無(wú)癥狀感染者也可能成為傳染源.某市為了增強(qiáng)民眾防控病毒的意識(shí),舉行了“預(yù)防新冠病毒知識(shí)競(jìng)賽”網(wǎng)上答題,隨機(jī)抽取人,答題成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示.
(1)由直方圖可認(rèn)為答題者的成績(jī)服從正態(tài)分布,其中分別為答題者的平均成績(jī)和成績(jī)的方差,那么這名答題者成績(jī)超過(guò)分的人數(shù)估計(jì)有多少人?(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值作代表)
(2)如果成績(jī)超過(guò)分的民眾我們認(rèn)為是“防御知識(shí)合格者”,用這名答題者的成績(jī)來(lái)估計(jì)全市的民眾,現(xiàn)從全市中隨機(jī)抽取人,“防御知識(shí)合格者”的人數(shù)為,求.(精確到)
附:①,;②,則,;③,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“新冠肺炎”爆發(fā)后,某醫(yī)院由甲、乙、丙、丁、戊5位醫(yī)生組成的專家組到某市參加抗擊疫情.五位醫(yī)生去乘高鐵,按規(guī)定每位乘客在進(jìn)站前都需要安檢,當(dāng)時(shí)只有3個(gè)安檢口開通,且沒有其他旅客進(jìn)行安檢.5位醫(yī)生分別從3個(gè)安檢口進(jìn)行安檢,每個(gè)安檢口都有醫(yī)生去安檢且不同的安檢順序視為不同的安檢,則甲、乙2位醫(yī)生不在同一個(gè)安檢口進(jìn)行安檢的概率為_____.
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