Question

15．已知△ABC中，AB=2，$AC=\sqrt{2}BC$，則△ABC的面積的最大值為 （　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設BC=a，則AC=$\sqrt{2}$a，利用余弦定理可求得cos²B=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{2}$，再利用三角形的面積公式可求得S_△ABC=asinB，繼而可求S_△ABC²=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，從而可得△ABC面積的最大值．

解答 解：依題意，設BC=a，則AC=$\sqrt{2}$a，又AB=2，
由余弦定理得：（$\sqrt{2}$a）2=a²+AB²-2a•ABcosB，
即a²+4acosB-4=0，
∴cosB=$\frac{4-{a}^{2}}{4a}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{4}$，
∴cos²B=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{2}$，
∴sin²B=1-cos²B=$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BCsinB=$\frac{1}{2}$×2asinB=asinB，
∴S²_△ABC=a²sin²B=a²（$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$）=-$\frac{{a}^{4}}{16}$+$\frac{3}{2}$a²-1=-$\frac{1}{16}$（a⁴-24a²）-1=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，
當a²=12，即a=2$\sqrt{3}$時，2、2$\sqrt{3}$、2$\sqrt{6}$能組成三角形，
∴S²_max=8，
∴S_max=2$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查余弦定理與正弦定理的應用，著重考查轉化思想與二次函數的配方法，求得S²_△ABC=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8是關鍵，也是難點，屬于難題．