求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅰ）求以橢圓
x2
13
+
y2
3
=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線y=±
1
2
x為漸近線
（Ⅱ）雙曲線的兩條對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的一半，且過(guò)點(diǎn)（3，2）
分析：（I）由橢圓
x2
13
+
y2
3
=1可得c=
13-3
=
10
，得到焦點(diǎn)(±
10
，0)．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），可得a2+b2=(
10
)2=10．又
b
a
=
1
2
．聯(lián)立解得即可．
（II）由題意可知：焦點(diǎn)在x軸上．設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），由于實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的一半，且過(guò)點(diǎn)（3，2）．可得
b=2a
9
a2
-
4
b2
=1
，解得即可．
解答：解：（I）由橢圓
x2
13
+
y2
3
=1可得c=
13-3
=
10
，得到焦點(diǎn)(±
10
，0)．
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），∴a2+b2=(
10
)2=10．
又
b
a
=
1
2
．聯(lián)立
a2+b2=10
a=2b
，解得
a2=8
b2=2
．
因此所求的雙曲線的方程為：
x2
8
-
y2
2
=1．
（II）由題意可知：焦點(diǎn)在x軸上，
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），
∵實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的一半，且過(guò)點(diǎn)（3，2）．
∴
b=2a
9
a2
-
4
b2
=1
，解得
a2=8
b2=32
，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
8
-
y2
32
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

分別求適合下列條件圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)為F1（0，-1）、F2（0，1）且過(guò)點(diǎn)M(
3
2
，1)橢圓；
（2）與雙曲線x2-
y2
2
=1有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)（2，2）的雙曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4；
（2）頂點(diǎn)是雙曲線16x2-9y2=144的中心，準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）求兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-4，0）和（4，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，0）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與雙曲線
x2
9
-
y2
16
=1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)（-3，2
3
）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)在 x軸上，虛軸長(zhǎng)為12，離心率為 
5
4
；
（2）頂點(diǎn)間的距離為6，漸近線方程為y=±
3
2
x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆廣東省高二第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文試卷（解析版） 題型：解答題

分別求適合下列條件圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦點(diǎn)為、且過(guò)點(diǎn)橢圓；

（2）與雙曲線有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線．

 

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