如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A1B1上，且

（1）證明：無(wú)論取何值，總有AM⊥PN；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線PN與平面ABC所成角的正切值.

 


法一：（1）證明：在三棱柱中，

,而.故

且                               ……………3分

設(shè)為的中點(diǎn)、為的中點(diǎn)。連接,.

且,

，

又,,,

故無(wú)論取何值，總有                        ……………6分

（2）由于設(shè)是

,故

法二  以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系

則A1（0，0，1），

B1（1，0，1）， M（0，1，），N（，0）

，，

C
 
             ……………4分

N
 
（1）∵，∴

∴無(wú)論取何值，         ……………6分

（2）時(shí)，,            ……………8分

而面 設(shè)為所成角，

則，                  ……………10分 

所以直線與與平面所成角的正切值為.        ………………12分                                           

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，AB=2
2
，M，N分別是棱CC1，AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CN⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求證：CN∥平面AMB1；
（Ⅲ）求三棱錐B1-AMN的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC1的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上，且滿足
A1P
=λ
A1B1
．
（1）證明：PN⊥AM；
（2）當(dāng)λ取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角最大值的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上，且
A1P
=λ
A1B1
；
（Ⅰ）證明：無(wú)論λ取何值，總有AM⊥PN；
（Ⅱ）當(dāng)λ取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時(shí)的正切值；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°，若存在，試確定點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2，且A1A⊥底面ABC，D為AB的中點(diǎn)，G為△ABC1的重心，則|
CG
|的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥AC1；
（2）若AB=
2
，AA1=2
3
，求AC1與平面ABC所成的角．

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