Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2012^x+log₂₀₁₂x，則方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理及在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性即可判斷出此區(qū)間上的個(gè)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷出在區(qū)間（-∞，0）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又f（0）=0，從而得出函數(shù)f（x）所有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程f（x）=0的個(gè)數(shù)．
解答：①∵f（x）定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，0是方程f（x）=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2012^x+log₂₀₁₂x，由y=2012^x及y=log₂₀₁₂x在（0，+∞）上單調(diào)遞增可知：函數(shù)f（x）在
（0，+∞）上單調(diào)遞增．由當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞，而f（1）=2012+0＞0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)．
③當(dāng)x＜0時(shí)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上有唯一零點(diǎn)．
綜上可知：方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握函數(shù)零點(diǎn)的判定定理、函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵．