Question

若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上是增函數(shù)，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（a，b）上是減函數(shù)，試判斷函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間（a，b）上的增減性；如果是y=f（x）+g（x）那么增減性又如何？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁，x₂∈（a，b），且x₁＜x₂，根據(jù)f（x），g（x）在（a，b）上的單調(diào)性判斷y₁-y₂=f（x₁）-g（x₁）-[f（x₂）-g（x₂）]和y₁-y₂=f（x₁）+g（x₁）-[f（x₂）+g（x₂）]的符號即可．

解答： 解：設(shè)x₁，x₂∈（a，b），且x₁＜x₂，則：
y₁-y₂=f（x₁）-g（x₁）-f（x₂）+g（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+g（x₂）-g（x₁）；
∵f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，g（x）在（a，b）上是減函數(shù)；
又x₁＜x₂；
∴f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂）；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，g（x₂）-g（x₁）＜0；
∴y₁＜y₂；
∴函數(shù)y=f（x）-g（x）在（a，b）上是增函數(shù)；
如果是函數(shù)y=f（x）+g（x），則增減性不能判斷，原因是：
y₁-y₂=f（x₁）+g（x₁）-f（x₂）-g（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+g（x₁）-g（x₂）；2
由前面知，f（x₁）-f（x₂）＜0，g（x₁）-g（x₂）＞0，
∴不能判斷y₁-y₂的符號，所以該函數(shù)單調(diào)性不能判斷．

點(diǎn)評：考查函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性．