Question

【題目】已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如圖，其中AF=1，AD=2，∠ADC= ，點N時線段AD的中點．
（Ⅰ）試問在線段BE上是否存在點M，使得直線AF∥平面MNC？若存在，請證明AF∥平面MNC，并求出 的值，若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求二面角N﹣CE﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 作FE的中點P，連接CP交BE于點M，M點即為所求的點

證明：連接PN，∵N是AD的中點，P是FE的中點，∴PN∥AF，

又PN平面MNC，AF平面MNC，

∴直線AF∥平面MNC．

∵PE∥AD，AD∥BC，∴PE∥BC，

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）知PN⊥AD，又面ADEF⊥面ABCD，面ADEF∩面ABCD=AD，PN面ADEF，

所以PN⊥面ABCD．

故PN⊥ND，PN⊥NC．

以N為空間坐標原點，NC，ND，NP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系N﹣xyz，

∵∠ADC= ，AD=DC=2，∴△ADC為正三角形，NC= ，

∴N（0，0，0），C（ ，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），

∴ =（0，1，1）， =（ ，0，0）， =（0，0，1）， =（ ，﹣1，0），

設(shè)平面NEC的一個法向量n1=（x，y，z），則由n1 =0，n1 =0可得

令y=1，則n1=（0，1，﹣1）．

設(shè)平面CDE的一個法向量n2=（x1，y1，z1），則由n2 =0，n2 =0可得

令x1=1，則n2=（1， ，0）．

則cos＜n1，n2＞= ，

設(shè)二面角N﹣CE﹣D的平面角為θ，則sinθ= ，

∴二面角N﹣CE﹣D的正弦值為

【解析】（Ⅰ） 作FE的中點P，連接CP交BE于點M，M點即為所求的點，由PE∥AD，AD∥BC，得PE∥BC， ，（Ⅱ）由（Ⅰ）得PN⊥ND，PN⊥NC，以N為空間坐標原點，NC，ND，NP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系N﹣xyz，N（0，0，0），C（ ，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），利用向量法求解．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．