Question

設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上，離心率為

2

，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，1）．
（Ⅰ）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l與該雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且A、B的中點(diǎn)為（2，3），求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3），求得a，由已知條件雙曲線的離心率為 

2

，列出方程求出c，利用雙曲線的三參數(shù)的關(guān)系，求出b，據(jù)雙曲線焦點(diǎn)的位置寫出雙曲線的方程．
（Ⅱ）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，兩式相減，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，進(jìn)而求得直線AB的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線的離心率為

2

，一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），
∴

c

a

=

2

，a=1且焦點(diǎn)在y軸上，
∴c=

2

∵c²=a²+b²
∴b²=3．
∴雙曲線的方程為 y²-

1

3

x²=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=6，
∵y²-

1

3

x²=1，
∴x₁²-3y₁²=-3，x₂²-3y₂²=-3，兩式作差可得，
4（x₁-x₂）-18（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

2

9

，
∴直線的方程為y-3=

2

9

（x-2），即2x-9y-23=0．

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程關(guān)鍵先判斷出焦點(diǎn)的位置、考查雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系為c²=a²+b²，涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化．