Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）（e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立時(shí)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，

x+1

ex

(1+x)

1

x

＜e．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，分a≤0，a＞0，求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）應(yīng)用參數(shù)分離得a＞

lnx

x

，求出

lnx

x

在（0，+∞）上的最大值，只要a大于最大值即可；
（Ⅲ）可通過分析法證明，令x+1=t，再兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為（Ⅰ）的函數(shù)，求出最大值-1，得證．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=

1

x

-a，
又函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，

1

a

）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（0，

1

a

）上是增函數(shù)；
x∈（

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）在（

1

a

，+∞）上是減函數(shù)；
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，

1

a

）上是增函數(shù)，f（x）在（

1

a

，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅱ） 當(dāng)f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
即a＞

lnx

x

在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=

lnx

x

，則g′（x）=

1-lnx

x2

，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
故當(dāng)x=e時(shí)，g（x）取得極大值，也為最大值，且為

1

e

，
所以a的取值范圍是（

1

e

，+∞）；
（Ⅲ）要證當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，

x+1

ex

(1+x)

1

x

＜e，
 可設(shè)t=1+x，t∈（1，+∞），
 只要證t1+

1

t-1

＜et，兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)，
 得

t

t-1

lnt＜lnet，即lnt＜t-1，
 由（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)的情況得f（x）=lnx-x的最大值為-1，此時(shí)x=1，
 所以當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)lnt-t＜-1，
 即得lnt＜t-1，所以原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間，求極值，最值等，考查分類討論和數(shù)學(xué)中分離參數(shù)的思想方法，同時(shí)運(yùn)用分析法證明不等式的方法，以及轉(zhuǎn)換思想，是一道不錯(cuò)的綜合題．