Question

6．如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行．若用2c₁和2c₂分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①a₁+c₁=a₂+c₂； ②a₁-c₁=a₂-c₂； ③c₁a₂＞a₁c₂； ④$\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}$＜$\frac{{c}_{2}}{{a}_{2}}$．
其中正確的式子序號是②③．

Answer 1

分析 根據(jù)圖象可知a₁＞a₂、c₁＞c₂，從而a₁+c₁＞a₂+c₂；根據(jù)a₁-c₁=|PF|，a₂-c₂=|PF|可知a₁-c₁=a₂-c₂；進而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)分別進行判斷即可．

解答 解：由圖可知a₁＞a₂，c₁＞c₂，
∴a₁+c₁＞a₂+c₂，∴①不正確，
∵a₁-c₁=|PF|，a₂-c₂=|PF|，
∴a₁-c₁=a₂-c₂，∴②正確．
∴a₁+c₂=a₂+c₁，
∴（a₁+c₂）²=（a₂+c₁）²，
即a₁²-c₁²+2a₁c₂=a₂²-c₂²+2a₂c₁，
∴b₁²+2a₁c₂=b₂²+2a₂c₁，
∵b₁＞b₂，∴c₁a₂＞a₁c₂，∴③正確；
此時$\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}$＜$\frac{{c}_{2}}{{a}_{2}}$，∴④不正確．
故答案為：②③．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．以及不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力．注意解題方法的積累，屬于中檔題．