Question

14．已知f（x）=sin（φx+$\frac{π}{3}$） （φ＞0），f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），且f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）有且只有一個(gè)最值，則φ的一個(gè)可能值是$\frac{14}{3}$ 或$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的圖象特征可得$\frac{π}{4}$φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，$\frac{π}{6}$φ+$\frac{π}{3}$≥kπ-$\frac{π}{2}$，且$\frac{π}{3}$φ+$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{3π}{2}$，由此求得φ的一個(gè)可能值．

解答 解：對(duì)于f（x）=sin（φx+$\frac{π}{3}$） （φ＞0），由f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$對(duì)稱(chēng)，
∴$\frac{π}{4}$φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即φ=4k+$\frac{2}{3}$．
再根據(jù)f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）有且只有一個(gè)最值，則$\frac{π}{6}$φ+$\frac{π}{3}$≥kπ-$\frac{π}{2}$，且$\frac{π}{3}$φ+$\frac{π}{3}$≤kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得φ≥6k-5，且φ≤3k+$\frac{7}{2}$．
∴φ的一個(gè)可能是$\frac{2}{3}$ 或$\frac{14}{3}$，
故答案為：$\frac{14}{3}$ 或$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．