Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系并取相同的單位長度，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρcos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）把曲線C₁的方程化為普通方程，C₂的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C₁，C₂相交于A，B兩點，AB的中點為P，過點P做曲線C₂的垂線交曲線C₁于E，F(xiàn)兩點，求|PE|•|PF|．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)），消去參數(shù)即可得出．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρcos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$．展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且中點為P（x₀，y₀），聯(lián)立拋物線與直線的方程可得x²-6x+1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式可得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，y₀=2．進而點到線段AB的中垂線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入拋物線方程，利用參數(shù)的意義即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)），消去參數(shù)可得y²=4x．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρcos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{\sqrt{2}}{2}$．展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化為x-y-1=0．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且中點為P（x₀，y₀），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，y₀=2．
線段AB的中垂線的參數(shù)方程為為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入y²=4x，可得t²+8$\sqrt{2}$t-16=0，
∴t₁t₂=-16，
∴|PE|•|PF|=|t₁t₂|=16．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、參數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．