Question

10．給出如下三個命題：
①“x≥2$\sqrt{2}$”是“l(fā)og₂（x+1）＞2”的充分不必要條件；
②將函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位可得到函數(shù)y=sin2x的圖象；
③$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為單位向量，其夾角為θ，若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|＞1，則$\frac{π}{3}$＜θ≤π．
其中正確的命題是②③．（填序號）

Answer 1

分析 ①由log₂（x+1）＞2得x＞3，進而判斷出正誤；
②將函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位可得到函數(shù)y=$sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{3}]$的圖象，即可判斷出正誤；
③由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{2-2cosθ}$＞1，得cosθ＜$\frac{1}{2}$，θ∈[0，π]，可得θ范圍，即可判斷出正誤．

解答 解：①由log₂（x+1）＞2得x＞3，則“x＞2$\sqrt{2}$”是“l(fā)og₂（x+1）＞2”的必要不充分條件，故①錯誤；
②將函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位可得到函數(shù)y=$sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{3}]$=sin2x的圖象，因此正確；
③由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{2-2cosθ}$＞1，得cosθ＜$\frac{1}{2}$，θ∈[0，π]，∴$\frac{π}{3}$＜θ≤π，因此③正確．
故答案為：②③．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、對數(shù)函數(shù)的性質、三角函數(shù)變換、向量的數(shù)量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．