Question

19．關(guān)于下列命題：
①設(shè)直線2x+3y+1=0和圓x²+y²-2x-3=0相交于A，B，則弦AB的垂直平分線方程是3x-2y-3=0．
②若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n+1）²，則{a_n}是等差數(shù)列；
③a，b，c是空間三條不同的直線，c是直線a在平面α內(nèi)的射影，且b?a，a?α，若b⊥c則a⊥b；
④已知向量$\overrightarrow{a}=（t，2），\overrightarrow$=（-3，6），若向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是t＜4；
⑤若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x+1）-f（x），函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（1）=0，則在區(qū)間[-5，5]上f（x）至少有11個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的序號(hào)是①③⑤（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①圓x²+y²-2x-3=0即（x-1）²+y²=4，則弦AB的垂直平分線斜率為$\frac{3}{2}$，并且經(jīng)過(guò)圓心（1，0），利用點(diǎn)斜式可得方程，即可判斷出真假．
②由S_n=（n+1）²，則a₁=S₁=4；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，當(dāng)n=1時(shí)不成立，即可判斷出真假；
③根據(jù)三垂線定理可得a⊥b，即可判斷出真假；
④若向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＞0，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不能夠同向共線，解出即可判斷出真假；
⑤由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（1）=0，可得f（0）=0，f（2）=f（1）-f（0）=0，同理可得f（3）=f（4）=f（5）=0，f（-1）=-f（1）=0，同理可得f（-2）=f（-3）=f（-4）=f（-5）=0，即可得出在區(qū)間[-5，5]上f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：①設(shè)直線2x+3y+1=0和圓x²+y²-2x-3=0即（x-1）²+y²=4相交于A，B，
則弦AB的垂直平分線斜率為$\frac{3}{2}$，并且經(jīng)過(guò)圓心（1，0），可得方程為：3x-2y-3=0，因此正確．
②若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n+1）²，則a₁=S₁=4；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，當(dāng)n=1時(shí)不成立，因此{(lán)a_n}不是等差數(shù)列，因此不正確；
③a，b，c是空間三條不同的直線，c是直線a在平面α內(nèi)的射影，且b?a，a?α，若b⊥c，根據(jù)三垂線定理可得a⊥b，正確；
④已知向量$\overrightarrow{a}=（t，2），\overrightarrow$=（-3，6），若向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＞0，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不能夠同向共線，由-3t+12＞0，解得t＜4，當(dāng)t=-1時(shí)，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$同向共線，
∴則實(shí)數(shù)t的取值范圍是t＜4且t≠-1；
⑤若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x+1）-f（x），
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（1）=0，
∴f（0）=0，f（2）=f（1）-f（0）=0，
同理可得f（3）=f（4）=f（5）=0，f（-1）=-f（1）=0，
同理可得f（-2）=f（-3）=f（-4）=f（-5）=0，因此在區(qū)間[-5，5]上f（x）至少有11個(gè)零點(diǎn)，正確．
其中正確命題的序號(hào)是 ①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、直線與圓的位置關(guān)系、遞推關(guān)系與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、三垂線定理、向量共線定理、抽象函數(shù)的奇偶性、向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．