Question

【題目】已知橢圓C1： + =1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ， 點(diǎn)F2也為拋物線C2：y2=8x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的直線l交拋物線C2于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P（8，0）滿(mǎn)足|PA|=|PB|，求直線l的方程；
（Ⅱ）T為直線x=﹣3上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作TF1的垂線交橢圓C1于M，N兩點(diǎn)，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由拋物線 得F2（2，0），

當(dāng)直線l斜率不存在，即l：x=2時(shí)，滿(mǎn)足題意．

當(dāng)直線l斜率存在，設(shè)l：y=k（x﹣2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由 得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，

∴ ．

設(shè)AB的中點(diǎn)為G，則 ，

∵|PA|=|PB|，∴PG⊥l，kPGk=﹣1，

∴ ，解得 ，則 ，

∴直線l的方程為 或x=2．

（Ⅱ）∵F2（2，0），∴ ，

設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，m），

則直線TF1的斜率 ，

當(dāng)m≠0時(shí)，直線MN的斜率 ，直線MN的方程是x=my﹣2，

當(dāng)m=0時(shí)，直線MN的方程是x=﹣2，也符合x(chóng)=my﹣2的形式．

∴直線MN的方程是x=my﹣2．

設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），則 ，得（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，

∴ ，

， = ，

∴ ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即m=±1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí) 取得最小值 ．

【解析】（Ⅰ）由拋物線 得F2（2，0），當(dāng)直線l斜率不存在，即l：x=2時(shí)，滿(mǎn)足題意．當(dāng)直線l斜率存在，設(shè)l：y=k（x﹣2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線方程聯(lián)立可得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得AB的中點(diǎn) ，由|PA|=|PB|，可得PG⊥l，kPGk=﹣1，解得k即可得出．（Ⅱ）F2（2，0），可得橢圓C1的方程，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，m），則直線TF1的斜率 =﹣m．當(dāng)m≠0時(shí)，直線MN的斜率 ，直線MN的方程是x=my﹣2，

當(dāng)m=0時(shí)，上述方程．設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．