Question

19．甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，其中甲袋裝有1個(gè)紅球，4個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩袋中各任取2個(gè)球．
（Ⅰ）用ξ表示取到的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率p=P（ξ≥2），由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）由題意得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{3}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{50}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{12}{25}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{25}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{9}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=$0×\frac{9}{25}+1×\frac{12}{25}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{25}$=$\frac{6}{5}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率：
p=P（ξ≥2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）=$\frac{3}{10}+\frac{1}{25}$=$\frac{17}{50}$．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．