Question

11．已知方程log${\;}_{2}^{2}$x-2log₂x+3-a=0在[1，8]上有且只有一解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 令t=log₂x（0≤t≤3），由題意可得t²-2t+3-a=0在[0，3]上有且只有一解，即為a-3=t²-2t=（t-1）²-1，求出函數(shù)y=（t-1）²-1在[0，3]的最值，結(jié)合條件可得a的不等式，解得即可得到所求范圍．

解答 解：令t=log₂x（0≤t≤3），
log${\;}_{2}^{2}$x-2log₂x+3-a=0在[1，8]上有且只有一解，
即為t²-2t+3-a=0在[0，3]上有且只有一解，
即為a-3=t²-2t=（t-1）²-1，
由y=（t-1）²-1在[0，3]的最小值為-1，t=0時，y=0，
t=3時，y=3，可得0＜a-3≤3，或a-3=-1，
解得3＜a≤6，或a=2，
故a的取值范圍是{x|a=2或3＜a≤6}．

點評 本題考查可化為二次方程的解的個數(shù)，注意運用換元法和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查二次函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題．