Question

3．已知圓O：x²+y²=1與圓C：x²+y²-6x-8y+m=0相切于M點，求以M為圓心，且與圓C的半徑相等的圓的標準方程．

Answer 1

分析 利用圓O：x²+y²=1與圓C：x²+y²-6x-8y+m=0相切，求出m，設(shè)M（x，y），由題知，$\overrightarrow{CM}$=4$\overrightarrow{MO}$或$\overrightarrow{CM}$=6$\overrightarrow{OM}$，求出M的坐標，即可求以M為圓心，且與圓C的半徑相等的圓的標準方程．

解答 解：圓C：x²+y²-6x-8y+m=0，可化為（x-3）²+（y-4）²=25-m
∵圓O：x²+y²=1與圓C：x²+y²-6x-8y+m=0相切，
∴|OC|=1+$\sqrt{25-m}$=5或|OC|=$\sqrt{25-m}$-1=5
∴m=9或m=-11
∴圓C：（x-3）²+（y-4）²=16或C：（x-3）²+（y-4）²=36
設(shè)M（x，y），由題知，$\overrightarrow{CM}$=4$\overrightarrow{MO}$或$\overrightarrow{CM}$=6$\overrightarrow{OM}$，
故M（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）或M（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$）
故所求圓的方程為（x-$\frac{3}{5}$）²+（y-$\frac{4}{5}$）²=16或（x+$\frac{3}{5}$）²+（y+$\frac{4}{5}$）²=36．

點評 本題考查圓的方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．