Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-sin（

π

2

-2x），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出相應(yīng)的x值的集合；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）利用誘導(dǎo)公式和和差角公式（輔助角公式）將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，進而根據(jù)A=2得到函數(shù)的最值，及相應(yīng)的xx值的集合；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

3

sinxcosx-sin(

π

2

-2x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)．（6分）
所以函數(shù)f（x）的最小值為-2，
此時x滿足2x-

π

6

=2kπ-

π

2

，(k∈Z)，
即相應(yīng)的x的取值的集合為{x|x=kπ-

π

6

， k∈Z}．（9分）
（Ⅱ）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

   (k∈Z)得
kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，  k∈Z
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，  kπ+

5π

6

]，  k∈Z． （12分）

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．