Question

20．已知0＜α＜π，若cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求：$\frac{2sinαcosα-cosα+1}{1-tanα}$的值．

Answer 1

分析 利用cosα-sinα 的值求出sinα+cosα 的值，解出sinα和cosα 的值，代入所求的式子進(jìn)行運(yùn)算．

解答 解：∵cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴1-2sinα•cosα=$\frac{1}{5}$，
∴2sinα•cosα=$\frac{4}{5}$，
∴（sinα+cosα）² =1+2sinαcosα=1+$\frac{4}{5}$=$\frac{9}{5}$．
∵0＜α＜π，
∴sinα+cosα=±$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
與cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
聯(lián)立解得：cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，或sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$（舍去），cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴tanα=2，
∴$\frac{2sinαcosα-cosα+1}{1-tanα}$=$\frac{2×\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}+1}{1-2}$=$\frac{\sqrt{5}-9}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，三角函數(shù)式的化簡求值．