【題目】已知?jiǎng)訄A恒過(guò)點(diǎn)，且與直線： 相切.

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）探究在曲線上，是否存在異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)， ，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）軌跡方程為；（2）直線過(guò)定點(diǎn).

【解析】(1)因?yàn)閯?dòng)圓M,過(guò)點(diǎn)F且與直線相切, 所以圓心M到F的距離等于到直線的距離.根據(jù)拋物線的定義可以確定點(diǎn)M的軌跡是拋物線，易求其方程.

（II）本小題屬于存在性命題，先假設(shè)存在A,B在上, 直線AB的方程: ,即AB的方程為,然后根據(jù),∴AB的方程為,從而可確定其所過(guò)定點(diǎn).

解：(1) 因?yàn)閯?dòng)圓M,過(guò)點(diǎn)F且與直線相切,

所以圓心M到F的距離等于到直線的距離. …………2分

所以,點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線的拋物線,且, , ……4分

所以所求的軌跡方程為……………6分

(2) 假設(shè)存在A,B在上, …………7分

∴直線AB的方程: , …………9分

即AB的方程為: , …………10分

即…………11分

又∵∴AB的方程為，…………12分

令,得，所以,無(wú)論為何值,直線AB過(guò)定點(diǎn)(4,0) …………14分

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（3）若數(shù)列{bn}，對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有 成立，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

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