Question

若函數(shù)f（x）在R上是奇函數(shù)，且在（-1，0）上單調(diào)遞增，且f（x+2）=-f（x）．
（1）證明：f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2k，0）中心對(duì)稱，以及關(guān)于直線x=2k+1對(duì)稱；
（2）討論f（x）在區(qū)間（1，2）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x+2）=-f（x）先求出函數(shù)的周期，再由奇函數(shù)的性質(zhì)和f（x+2）=-f（x）得，函數(shù)的對(duì)稱軸方程，再由f（x+2）=-f（x）和奇函數(shù)的周期知，函數(shù)關(guān)于（2k，0）（k∈Z）對(duì)稱；
（2）根據(jù)條件和奇函數(shù)的單調(diào)性先得到函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性，再根據(jù)對(duì)稱軸方程判斷出在區(qū)間（1，2）上的單調(diào)性．

解答： 證明：（1）由題意得，則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
因?yàn)閒（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f（x+2）=-f（x），
所以f（x+2）=f（-x），則f（x+4k+2）=f（-x），
所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2k+1（k∈Z）對(duì)稱，
因?yàn)閒（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
所以f（x）函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)閒（x）為周期函數(shù)，周期為4，且f（x+2）=-f（x），
所以f（x）函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（2k，0）（k∈Z）對(duì)稱；
（2）解：因?yàn)閒（x）在R上是奇函數(shù)，且在（-1，0）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
由（1）知，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2k+1（k∈Z）對(duì)稱，
所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
則f（x）在區(qū)間（1，2）上的單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性、周期性、對(duì)稱性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性、周期性、對(duì)稱性的定義、性質(zhì)，以及利用賦值法對(duì)等式進(jìn)行靈活變形．