Question

5．已知拋物線y²=$\frac{1}{4}$x，直線l與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)
（1）若線段AB的中點(diǎn)為（1，2），求直線l的方程
（2）若A，B兩點(diǎn)到拋物線的F的距離之和為6，求直線l斜率的范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB方程的斜率為k，根據(jù)中點(diǎn)M的坐標(biāo)寫出直線AB的方程，把直線AB與拋物線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，然后再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，由線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線AB的方程即可．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，代入拋物線方程，消去y，利用韋達(dá)定理、拋物線的定義，即可求直線l斜率的范圍．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的方程的斜率為k，則直線AB的方程為：y-2=k（x-1），
聯(lián)立直線AB與拋物線方程，消去y得：k²x²-（2k²-4k+$\frac{1}{4}$）x+（-k+2）²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2-$\frac{4}{k}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，
又線段AB的中點(diǎn)為M，
所以x₁+x₂=2，得到8k²-16k+1=8k²，解得k=$\frac{1}{16}$，
則直線AB的方程為：y-2=$\frac{1}{16}$（x-1）即x-16y+31=0．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，代入拋物線方程，消去y得：k²x²+（2kb-$\frac{1}{4}$）x+b²=0，
所以x₁+x₂=-$\frac{2b}{k}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$，△＞0，可得-kb+$\frac{1}{16}$＞0①
因?yàn)锳，B兩點(diǎn)到拋物線的F的距離之和為6，
所以x₁+x₂+p=-$\frac{2b}{k}$+$\frac{1}{4{k}^{2}}$+$\frac{1}{8}$=6②
由①②可得k＜-$\frac{\sqrt{47}}{47}$或k＞$\frac{\sqrt{47}}{47}$．

點(diǎn)評 本題考查直線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．