Question

已知向量

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，|

c

-

a

-

b

|=1，則|

c

|的最大值為（　�。�

• A、4
• B、1+

  3

• C、3+

  3

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，利用數(shù)量積運(yùn)算可得＜

a

，

b

＞=60°．如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．作

OA

=

a

，

OB

=

b

．設(shè)C（x，y），A（

3

，0），
B(

3

2

，

3

2

)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其數(shù)量積的性質(zhì)與已知|

c

-

a

-

b

|=1，可得

(x- 3 3 2 )2+(y- 3 2 )2

=1，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．

解答： 解：∵向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，
∴

3

2

=|

a

| |

b

|cos＜

a

，

b

＞=

3

×

3

×cos＜

a

，

b

＞，化為cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，解得＜

a

，

b

＞=60°．
如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
作

OA

=

a

，

OB

=

b

．
設(shè)C（x，y），∵A（

3

，0），B(

3

2

，

3

2

)，
∴

c

-

a

-

b

=(x-

3 3

2

，y-

3

2

)．
∵|

c

-

a

-

b

|=1，∴

(x- 3 3 2 )2+(y- 3 2 )2

=1，
即(x-

3 3

2

)2+(y-

3

2

)2=1．
∴|

c

|的最大值=|OM|+r=

( 3 3 2 )2+( 3 2 )2

+1=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其數(shù)量積的性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．