Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù).

（1）若函數(shù)滿足,且在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）由代入函數(shù)解得a的值，既得函數(shù)的解析式，再由恒成立，分離變量得恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的單調(diào)性，從而得的最小值，既得實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）先求導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則恒成立，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的最大值，可得a的取值范圍；當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)無最小值，則不恒成立，可得解；（3）由（1）知在（0,1）上單調(diào)遞減，則時(shí)，即，而時(shí)， ．

試題解析：（1）∵，∴a=1． f（x）=x2+x-xlnx.

由x2+x-xlnx≥bx2+2x，

令，可得在上遞減，

在上遞增，所以，即

（2）

，，

時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增．

，

，

，

，必有極值，在定義域上不單調(diào).

（3）由（1）知在（0,1）上單調(diào)遞減

∴時(shí)，即

而時(shí)，

．

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值；2、恒成立問題；3、不等式、函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用.