Question

8．正實數(shù)x，y滿足2x+y-3=0，則$\frac{4y-x+6}{xy}$的最小值為9．

Answer 1

分析 正實數(shù)x，y滿足2x+y-3=0，可得y=3-2x＞0，解得$0＜x＜\frac{3}{2}$．則$\frac{4y-x+6}{xy}$=$\frac{18-9x}{-2{x}^{2}+3x}$=t，化為2tx²-（9+3t）x+18=0，令△≥0，解出并驗證即可得出．

解答 解：正實數(shù)x，y滿足2x+y-3=0，∴y=3-2x＞0，解得$0＜x＜\frac{3}{2}$．
則$\frac{4y-x+6}{xy}$=$\frac{4（3-2x）-x+6}{x（3-2x）}$=$\frac{18-9x}{-2{x}^{2}+3x}$=t，
化為2tx²-（9+3t）x+18=0，
令△=（9+3t）²-8×18t≥0，
化為t²-10t+9≥0，
解得t≥9或t≤1，
若$\frac{18-9x}{-2{x}^{2}+3x}$=t≤1，
化為（x-3）²≤0，舍去．
∴t≥9，
當t=9時，$\frac{18-9x}{-2{x}^{2}+3x}$=9，化為（x-1）²=0，解得x=1，滿足$0＜x＜\frac{3}{2}$．
∴則$\frac{4y-x+6}{xy}$的最小值為9．
另解：∵正實數(shù)x，y滿足2x+y-3=0，∴4x+2y=6，
則$\frac{4y-x+6}{xy}$=$\frac{4y-x+4x+2y}{xy}$=3$（\frac{1}{y}+\frac{2}{x}）$=（2x+y）$（\frac{1}{y}+\frac{2}{x}）$=5+$\frac{2x}{y}$+$\frac{2y}{x}$≥5+2×$2\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=9，當且僅當x=y=1時取等號．
∴則$\frac{4y-x+6}{xy}$的最小值為9．
故答案為：9．

點評 本題考查了利用判別式法求函數(shù)的最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．