Question

已知-

π

2

＜x＜0，則sinx+cosx=

1

5

．
（I）求sinx-cosx的值；
（Ⅱ）求

3sin2 x 2 -2sin x 2 cos x 2 +cos2 x 2

tanx+cotx

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把sinx+cosx=

1

5

兩邊平方求得sinxcosx的值，進而根據(jù)∵（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx求得（sinx-cosx）²=，進而根據(jù)-

π

2

＜x＜0確定sinx-cosx的正負，求得答案．
（Ⅱ）先把原式中的正切轉(zhuǎn)換成弦，進而根據(jù)倍角公式化簡整理，把（1）中求得的sinxcosx和sinx-cosx代入即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由sinx+cosx=

1

5

，平方得sin²x+2sinxcosx+cos²x=

1

25

，
即2sinxcosx=-

24

25

．
∵（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=

49

25

．
又∵-

π

2

＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，
故sinx-cosx=-

7

5

．
（Ⅱ）

3sin2 x 2 -2sin x 2 cos x 2 +cos2 x 2

tanx+cotx

=

2sin2 x 2 -sinx+1

sinx cosx + cosx sinx

=sinxcosx（2-cosx-sinx）
=（-

12

25

）×（2-

1

5

）=-

108

125

點評：本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系的應用．要特別注意函數(shù)值的正負號的判定．