Question

正項數(shù)列的前n項和為，且。
（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列并求其通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析，；（Ⅱ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列并求其通項公式，由已知，這是由求，可根據(jù)來求，因此當時，，解得，當時，，整理得，從而得數(shù)列是首項為１，公差為２的等差數(shù)列，可寫出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：，首先求出的通項公式，，分母是等差數(shù)列連續(xù)兩項積，符合利用拆項相消法求和，即，這樣求得和，利用數(shù)列的單調(diào)性，可證結(jié)論．
試題解析：（Ⅰ）由得：當時，，得，
當時，，
整理得，又為正項數(shù)列，
故，（），因此數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
。（6分）
（Ⅱ），
∴，
∵，∴，（8分）
，
∴數(shù)列是一個遞增數(shù)列     ∴，
綜上所述，。（12分）