【題目】已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+ x2﹣x,其中a為實數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:2f(x2)﹣x1>0.

【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為(﹣1,+∞), =

①當a﹣1≥0時,即a≥1時,f'(x)≥0,f(x)在(﹣1,+∞)上單調遞增;

②當0<a<1時,由f'(x)=0得 ,

故f(x)在(﹣1,﹣ )上單調遞增,在(﹣ )上單調遞減,

在( ,+∞)上單調遞增;

③當a<0時,由f'(x)=0得x1= ,x2=﹣ (舍)

f(x)在(﹣1, )上單調遞減,在( ,+∞)上單調遞增.

(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)得若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2,則0<a<1, ,

∴x1+x2=0,x1x2=a﹣1且x2∈(0,1),

要證2f(x2)﹣x1>0f(x2)+ x2>0aln(x2+1)+ x2>0(1+x2)ln(x2+1)﹣ x2>0,

令g(x)=(1+x)ln(x+1)﹣ x,x∈(0,1),

∵g′(x)=ln(x+1)+ >0,

∴g(x)在(0,1)遞增,

∴g(x)>g(0)=0,

∴命題得證.


【解析】(Ⅰ)求導數(shù),分類討論,利用導數(shù)的正負研究函數(shù)f(x)的單調性;(Ⅱ)所證問題轉化為(1+x2)ln(x2+1)﹣ x2>0,令g(x)=(1+x)ln(x+1)﹣ x,x∈(0,1),根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可.
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.

練習冊系列答案
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x

3

4

5

6

y

2.5

t

4

4.5


A.產品的生產能耗與產量呈正相關
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合計

認可

不認可

合計

(Ⅰ)若得分不低于80分,則認為該用戶對此種交通方式“認可”,否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”,請根據(jù)此樣本完成此 列聯(lián)表,并據(jù)此樣本分析是否有 的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關;
(Ⅱ)若從此樣本中的 城市和 城市各抽取1人,則在此2人中恰有一人認可的條件下,此人來自 城市的概率是多少?
附:參考數(shù)據(jù):(參考公式:

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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