Question

14．一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為$\frac{9}{32}$．

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為r，由已知求出圓錐底面圓的直徑為$\sqrt{3}r$，圓錐的高h=$\frac{3}{2}r$，由此能求出該圓錐的體積與球O的體積的比值．

解答 解：圓錐與球的截面如圖，
設(shè)球的半徑為r，
則圓錐底面圓的直徑為$\sqrt{3}r$，圓錐底面面積為$π（\frac{\sqrt{3}}{2}r）^{2}=\frac{3π{r}^{2}}{4}$，
圓錐的高h=$\sqrt{3{r}^{2}-\frac{3{r}^{2}}{4}}$=$\frac{3}{2}r$，
圓錐的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}r×\frac{3π{r}^{2}}{4}$=$\frac{3π{r}^{3}}{8}$，
球的體積為$\frac{4}{3}π{r}^{3}$，該圓錐的體積與球O的體積的比值為$\frac{\frac{3π{r}^{3}}{8}}{\frac{4}{3}π{r}^{3}}$=$\frac{9}{32}$．
故答案為：$\frac{9}{32}$．

點評 本題考查圓錐的體積與球的體積的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意球與其內(nèi)接幾何體的關(guān)系的合理運用．