Question

如圖，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D為線段AB的中點(diǎn)．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的．記二面角B-AO-C的大小為θ．
（1）當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí)，求θ的值；
（2）當(dāng)θ∈[，]時(shí)，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍．

Answer 1

解：（1）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則O（0，0，0），A（0，0，2），B（0，2，0），
D （0，1，），C （2sinθ，2cosθ，0）．
，．
設(shè)=（x，y，z）為平面COD的一個(gè)法向量，
由得
取z=sinθ，得：，．
則=（cosθ，-sinθ，sinθ）．
因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為=（1，0，0），
由平面COD⊥平面AOB得•=0，
所以cosθ=0，即θ=．
（2）設(shè)二面角C-OD-B的大小為α，
由（1）得，當(dāng)θ=時(shí)，cosα=0；
當(dāng)θ∈（，]時(shí)，tanθ≤-，
cosα====-，
∵tanθ≤-，∴4tan²θ+3≥15，
則．
故-≤cosα＜0．
綜上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[-，0]．
分析：（1）以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OA所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，把C點(diǎn)的坐標(biāo)用含有θ的三角式表示，求出平面COD與平面AOB的法向量，由法向量的數(shù)量積等于0即可求得θ的值；
（2）由（1）得到當(dāng)時(shí)的二面角C-OD-B的余弦值，當(dāng)θ∈（，]時(shí)，把二面角的余弦值轉(zhuǎn)化為它們的兩個(gè)半平面的法向量所成角的余弦值，最后轉(zhuǎn)化為角θ的正切值求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的判定，考查了二面角的平面角，解答此題的關(guān)鍵是明確二面角的平面角與它們的法向量所成角的關(guān)系，此題是中檔題．