Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求常數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+

2

x

在[1，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導數(shù)，由題意得，f′（1）=0，求出a，并檢驗；
（2）寫出g（x）的表達式，求出導數(shù)，由于函數(shù)g（x）=f（x）+

2

x

在[1，4]上是減函數(shù)，則g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，分離參數(shù)得，-a≥2x²-

2

x

，構(gòu)造h（x）=2x²-

2

x

，求出最大值即可．

解答： 解：（1）f′（x）=2x+

a

x

（x＞0），
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，即2+a=0，a=-2，
檢驗x=1處d導數(shù)左負右正，故為極值，
∴a=-2；
（2）g（x）=f（x）+

2

x

=x²+alnx+

2

x

（x＞0）
∴g′（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，
由于函數(shù)g（x）=f（x）+

2

x

在[1，4]上是減函數(shù)，
則g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，
即有2x³+ax-2≤0，
-a≥2x²-

2

x

，令h（x）=2x²-

2

x

，h′（x）=4x+

2

x2

＞0在[1，4]上成立，
即h（x）在[1，4]上遞增，h（4）最大，且為

63

2

．
∴-a≥

63

2

，即a≤-

63

2

．

點評：本題考查導數(shù)的綜合運用：求極值、求單調(diào)區(qū)間和最值，考查參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)，運用導數(shù)，求最值，屬于中檔題．