Question

設函數f（x）=|x²-4x-5|，g（x）=k．
（1）在區(qū)間[-2，6]上畫出函數f（x）的圖象；
（2）若函數f（x）與g（x）有3個交點，求k的值；
（3）試分析函數φ（x）=|x²-4x-5|-k的零點個數．

Answer 1

考點：函數圖象的作法,根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據分段函數的性質即可作出函數f（x）在區(qū)間[-2，6]上的圖象；
（2）利用數形結合結合二次函數的性質即可求k的值；
（3）將函數φ（x）=|x²-4x-5|-k的零點個數轉化為方程|x²-4x-5|=k的個數，利用數形結合即可得到結論．．

解答： 解：（1）f（x）=|（x+1）（x-5）|=

x2-4x-5， x≥5或x≤-1 -x2+4x+5， -1＜x＜5

，
則對應的圖象為：
（2）當-1＜x＜5，f（x）=|x²-4x-5|=-（x²-4x-5）=-（x-2）²+9≤9，
∴要使函數f（x）與g（x）有3個交點，
則k=9．
（3）由φ（x）=|x²-4x-5|-k=0，得|x²-4x-5|=k，
若k=0或k＞9時，函數φ（x）兩個零點，
若k=9，函數φ（x）有三個零點，
若0＜k＜9，函數φ（x）有四個零點．

點評：本題主要考查分段函數的圖象作法以及函數零點個數的判斷，結合一元二次函數的圖象和性質，利用數形結合是解決本題的關鍵．