Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+mx-m．
（1）若函數(shù)f（x）的最大值為0，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）的最大值為0，即二次函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)值0，可得△=0，從而求出m的取值．
（2）由f（x）圖象的性質(zhì)得[-1，0]在對(duì)稱軸x=

m

2

右側(cè)時(shí)f（x）單調(diào)遞減，從而得出m的取值范圍．
（3）討論f（x）的對(duì)稱軸x=

m

2

在[2，3]的左側(cè)、右側(cè)以及在[2，3]上時(shí)三種情況，從而求出滿足條件的m的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=-x²+mx-m，最大值為0，
且二次函數(shù)f（x）的圖象是開口向下的拋物線，
∴f（x）有且只有一個(gè)值0，
即△=m²-4m=0，
∴m的值為0或4．
（2）函數(shù)f（x）=-x²+mx-m圖象是開口向下的拋物線，對(duì)稱軸是x=

m

2

；
要使f（x）在[-1，0]上是單調(diào)遞減的，應(yīng)滿足

m

2

≤-1，∴m≤-2；
∴m的取值范圍是{m|m≤-2}．
（3）對(duì)f（x）的對(duì)稱軸x=

m

2

在[2，3]的左側(cè)、右側(cè)以及在[2，3]上時(shí)的三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)

m

2

≤2，即m≤4時(shí)，f（x）在[2，3]上是減函數(shù)，
若存在實(shí)數(shù)m，使f（x）在[2，3]上的值域是[2，3]，
則有

f(2)=3 f(3)=2

，即

-4+2m-m=3 -9+3m-m=2

，
解得m不存在；
②當(dāng)≥3，即m≥6時(shí)，f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，
則有

f(2)=2 f(3)=3

，即

-4+2m-m=2 -9+3m-m=3

，
解得m=6；
③當(dāng)2＜

m

2

＜3，即4＜m＜6時(shí)，f（x）在[2，3]上先增后減，
所以f（x）在x=

m

2

處取最大值；
∴f（

m

2

）=-(

m

2

)2+m•(-

m

2

)-m=3，
解得m=-2或6（均不滿足條件，舍去）；
綜上，存在實(shí)數(shù)m=6，使f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性與值域問題，討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置是解決本題的關(guān)鍵．