Question

對(duì)于函數(shù)f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么稱h（x）為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（Ⅰ）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)？并說(shuō)明理由；
第一組：f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，h（x）=sin（x+

π

3

）；
第二組：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）設(shè)f₁（x）=log₂x，f₂（x）=log

1

2

x，a=2，b=1，生成函數(shù)h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)生成函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，看是否存在適合條件的a，b的值；
（Ⅱ）先化簡(jiǎn)得到h（x）=log₂x，由x∈[2，4]知s=log₂x∈[1，2]，從而得到t＜-3h2(x)-2h(x)=-3lo

g

2 2

x-2log2x的最大值-5．

解答： 解：（Ⅰ）①設(shè)asinx+bcosx=sin(x+

π

3

)，即asinx+bcosx=

1

2

sinx+

3

2

cosx，
取a=

1

2

，  b=

3

2

，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
②設(shè)a（x²-x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²-（a-b）x+b=x²-x+1，
則

a+b=1 -a+b=-1 b=1

，該方程組無(wú)解．所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)． 

（Ⅱ）h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log

1

2

x=log2x，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
即當(dāng)x∈[2，4]時(shí)有t＜-3h2(x)-2h(x)=-3lo

g

2 2

x-2log2x
設(shè)s=log₂x，則由x∈[2，4]知s∈[1，2]，
令y=-3lo

g

2 2

x-2log2x=-3s2-2s=-3(s+

1

3

)2+

1

3

，
則y_max=-5，故t＜-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的概念以及二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬于中檔題．