Question

【題目】對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．已知f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．
（1）當a=1，b=﹣2時，求函數(shù)f（x）的不動點；
（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的范圍；
（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖象上A、B兩點的橫坐標是函數(shù)f（x）的不動點，且A、B兩點關(guān)于直線y=kx+ 對稱，求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=1，b=﹣2時，f（x）=x2﹣x﹣3，

f（x）=xx2﹣2x﹣3=0x=﹣1，x=3

∴函數(shù)f（x）的不動點為﹣1和3

（2）解：即f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣1=x有兩個不等實根，

轉(zhuǎn)化為ax2+bx+b﹣1=0有兩個不等實根，須有判別式大于0恒成立

即b2﹣4a（b﹣1）＞0△=（﹣4a）2﹣4×4a＜00＜a＜1，

∴a的取值范圍為0＜a＜1

（3）解：設(shè)A（x1，x1），B（x2，x2），則x1+x2=﹣ ，

A，B的中點M的坐標為 （ ， ），即M（﹣ ，﹣ ）

∵A、B兩點關(guān)于直線y=kx+ 對稱，

又因為A，B在直線y=x上，

∴k=﹣1，A，B的中點M在直線y=kx+ 上．

∴﹣ = b=﹣ =﹣ 利用基本不等式可得

當且僅當a= 時，b的最小值為﹣

【解析】（1）轉(zhuǎn)化為直接解方程x2﹣x﹣3=x即可．（2）轉(zhuǎn)化為ax2+bx+b﹣1=0有兩個不等實根，轉(zhuǎn)化為b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，再利用二次函數(shù)大于0恒成立須滿足的條件來求解即可．（3）利用兩點關(guān)于直線對稱的兩個結(jié)論，一是中點在已知直線上，二是兩點連線和已知直線垂直．找到a，b之間的關(guān)系式，整理后在利用基本不等式求解可得．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是；當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．