Question

19．給出四個(gè)結(jié)論：（1）若a＞b＞0，且m＞0，則$\frac{a}$＜$\frac{b+m}{a+m}$；（2）若a，b∈R，則$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²；（3）若a，b∈R，則a²-2ab+2b²＜2b-2；（4）若a＞0，b＞0，則a^ab^b≥a^bb^a，其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由作差法判斷（1）（3）；利用公式法判斷（2）；利用作商法判斷④．

解答 解：對(duì)于（1），$\frac{a}-\frac{b+m}{a+m}=\frac{（b-a）m}{a（a+m）}$，∵a＞b＞0，m＞0，
∴$\frac{（b-a）m}{a（a+m）}$＜0，則$\frac{a}$＜$\frac{b+m}{a+m}$，∴①正確；
對(duì)于（2），$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+{a}^{2}+^{2}}{4}$$≥\frac{{a}^{2}+^{2}+2ab}{4}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²，∴②正確；
對(duì)于（3），∵a²-2ab+2b²-（2b-2）=a²-2ab+b²+b²-2b+1+1=（a-b）²+（b-1）²+1＞0，
∴a²-2ab+2b²，＞2b-2，∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于（4），若a＞0，b＞0，由$\frac{{a}^{a}^}{{a}^^{a}}={a}^{a-b}•^{b-a}$=$（\frac{a}）^{a-b}$，
當(dāng)a＞b時(shí)，$（\frac{a}）^{a-b}＞1$，當(dāng)a＜b時(shí)，$（\frac{a}）^{a-b}＞1$，∴a^ab^b≥a^bb^a，則④正確．
∴正確命題的個(gè)數(shù)為3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用作差法、作商法及公式法進(jìn)行不等式的大小比較，是中檔題．