Question

6．若p為非負實數(shù)，隨機變量ξ的分布列如下表，則Eξ的最大值為$\frac{3}{2}$，D（ξ）的最小值為$\frac{1}{4}$．

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{2}$-p	p	$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)所給的分布列的性質，即每一個概率都在[0，1）之間，寫出關于概率P的不等式組，解出P的范圍，寫出期望和方差的表示式，根據(jù)P的范圍，做出最值．

解答 解：由隨機變量ξ的分布列的性質，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{1}{2}-p≤1}\\{0≤p≤1}\end{array}\right.$，解得0≤p$≤\frac{1}{2}$，
∴Eξ=p+1≤$\frac{3}{2}$，
Dξ=（0-p-1）²×$（\frac{1}{2}-p）$+（1-p-1）²×p+（2-p-1）²×$\frac{1}{2}$=-p²-p+1=-（p+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$．
∴當P=$\frac{1}{2}$時，Eξ取最大值（Eξ）_max=$1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，D（ξ）取最小值D（ξ）_min=-（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的最大值和方差的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意分布列的性質和配方法的合理運用．