Question

1．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1）且當x∈[-1，0]時，f（x）=9^x+$\frac{4}{9}$，函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-$\frac{2}{9}$，則關于x的不等式f（x）＜g（|x+1|）的解集為（　�。�

• A． （-2，-1）∪（-1，0）
• B． （-$\frac{3}{2}$，-1）∪（-1，-$\frac{1}{2}$）
• C． （-$\frac{5}{4}$，-1）∪（-1，-$\frac{3}{4}$）
• D． （-$\frac{7}{4}$，-1）∪（-1，-$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的周期性和奇偶性的關系求出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象，利用數(shù)形結合作出兩個函數(shù)的圖象，求出交點的橫坐標，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
若x∈[0，1]時，-x∈[-1，0]，
∵當x∈[-1，0]時，f（x）=9^x+$\frac{4}{9}$，
∴當x∈[0，1]時，f（-x）=9^-x+$\frac{4}{9}$，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=9^-x+$\frac{4}{9}$=f（x），
即f（x）=9^-x+$\frac{4}{9}$，x∈[0，1]，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{9}^{x}+\frac{4}{9}，}&{x∈[-1，0]}\\{{9}^{-x}+\frac{4}{9}，}&{x∈[0，1]}\end{array}\right.$．
∵函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x-$\frac{2}{9}$，
∴g（|x+1|）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x+1|-$\frac{2}{9}$=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1）-\frac{2}{9}，}&{x＞-1}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x-1）-\frac{2}{9}，}&{x＜-1}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）和y=g（|x+1|）的圖象如圖：
當-1＜x＜0時，由9^x+$\frac{4}{9}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）-$\frac{2}{9}$，
即9^x+$\frac{6}{9}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
即3^2x+$\frac{2}{3}$=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
由選項驗證解得x=-$\frac{1}{2}$，
即此時不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解為-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，
∵函數(shù)g（|x+1|）關于x=-1對稱，
∴不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解為-1＜x＜-$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$＜x＜-1，
即不等式的解集為（-$\frac{3}{2}$，-1）∪（-1，-$\frac{1}{2}$），
故選：B．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的求解，以及不等式的應用，利用函數(shù)與方程之間的關系，結合數(shù)形結合是解決本題的關鍵．本題綜合性較強，運算量較大，難度較大．