Question

已知函數(shù)f(x)=，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且有a₁=f(1),當(dāng)n≥2時(shí)，S_n－(n²+5n－2).

(1)計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄;

(2)求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并給予證明．

Answer 1

答案：
解析：

a1=2，a2=3，a3=4，a4=5； 解：(1)由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，f(an)=, ∵Sn－， ∴Sn－(n2+5n－2), 即Sn+an=(n2+5n+2). 又a1=f(1)=2, 由S2+a2=a1+2a2=(22+5×2+2), 得a2=3; 由S3+a3=a1+a2+2a3=(32+5×3+2), 解得a3=4; 由S4+a4=a1+a2+a3+2a4=(42+5×4+2),解得a4=5. (2)則a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,于是猜想：an=n+1(n∈N). 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n=1時(shí)命題成立. ②設(shè)n=k時(shí)，ak=k+1(k∈N). 由Sk+1+ak+1=［(k+1)2+5(k+1)+2］, a1+a2+…+ak+2ak+1=(k2+7k+8), 2ak+1=(k2+7k+8)－(2+3+…+k+1) =(k2+7k+8)－ =(k2+7k+8－k2－3k) =2k+4. ak+1=(k+1)+1, 即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 故由(a)、(b)知對(duì)一切n∈N均有an=n+1.