已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦點為F1(2,0),離心率為e.
(1)若e=
2
2
,求橢圓的方程;
(2)設(shè)A,B為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,AF1的中點為M,BF1的中點為N,若原點O在以線段MN為直徑的圓上.
①證明點A在定圓上;
②設(shè)直線AB的斜率為k,若k
3
,求e的取值范圍.
(1)由e=
2
2
=
c
a
,c=2,得a=2
2
,b=
a2-c2
=2.
故所求橢圓方程為
x2
8
+
y2
4
=1

(2)設(shè)A(x1,y1),則B(-x1,-y1),故M(
x1+2
2
,
y1
2
)
N(
2-x1
2
,-
y1
2
)

①由題意,得
OM
ON
=0
.化簡,得
x21
+
y21
=4
,∴點A在以原點為圓心,2為半徑的圓上.
②設(shè)A(x1,y1),則
y1=kx1
x21
a2
+
y21
b2
=1
x21
+
y21
=4
得到
1
a2
+
k2
b2
=
1
4
(1+k2)

e=
c
a
=
2
a
,b2=a2-c2=
4
e2
-4
,代入上式整理,得k2(2e2-1)=e4-2e2+1;
∵e4-2e2+1>0,k2>0,
∴2e2-1>0,
e>
2
2

k2=
e4-2e2+1
2e2-1
≥3,化簡得
e4-8e2+4≥0
2e2-1>0
,解之得
1
2
e2≤4-2
3
,
2
2
<e≤
3
-1

故離心率的取值范圍是(
2
2
,
3
-1]
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖⊙O的半徑OB垂直于直徑AC,M為AO上一點,BM的延長線交⊙O于點N,過點N的切線交CA的延長線于P.
(1)求證:;
(2)若⊙O的半徑為,OA=OM,求MN的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓M、拋物線N的焦點均在x軸上的,且M的中心和M的頂點均為原點O,從每條曲線上取兩個點,將其坐標記錄于下表中:
x3-24
2
y-2
3
0-4
2
2
(Ⅰ)求M,N的標準方程;
(Ⅱ)已知定點A(1,
1
2
),過原點O作直線l交橢圓M于B,C兩點,求△ABC面積的最大值和此時直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

橢圓mx2+ny2=1與直線x+y=1交于M,N兩點,MN的中點為P,且OP的斜率為
2
2
,則
m
n
的值為( 。
A.
2
2
B.
2
2
3
C.
9
2
2
D.
2
3
27

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知雙曲線E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率為e,左、右兩焦點分別為F1、F2,焦距為2c,拋物線C以F2為頂點,F(xiàn)1為焦點,點P為拋物線與雙曲線右支上的一個交點,若a|PF2|+c|PF1|=8a2,則e的值為(  )
A.
3
B.3C.
2
D.
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A、B兩點.
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當△OAB的面積等于
10
時,求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

直線y=2x+1與橢圓
x2
4
+
y2
16
=1
的位置關(guān)系是( 。
A.相交B.相切C.相離D.不確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C1
x2
4
+
y2
3
=1
,拋物線C2:(y-m)2=2px(p>0),且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.
(Ⅰ)當AB⊥x軸時,求m、p的值,并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上;
(Ⅱ)是否存在m、p的值,使拋物線C2的焦點恰在直線AB上?若存在,求出符合條件的m、p的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

斜率為1,過拋物線y=
1
4
x2的焦點的直線截拋物線所得的弦長為( 。
A.8B.6C.4D.10

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同步練習(xí)冊答案