Question

【題目】已知，，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

若函數(shù)的切線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求l的方程；

Ⅱ若函數(shù)在為遞減函數(shù)，試判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】Ⅰ；Ⅱ見(jiàn)解析

【解析】

Ⅰ設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線斜率，求出切線方程即可；

Ⅱ問(wèn)題等價(jià)于，記，，分別求出的最小值和的最大值，從而證明結(jié)論．

解：Ⅰ設(shè)l和的切點(diǎn)是，

在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，它是切線l的斜率，

經(jīng)過(guò)，也過(guò)切點(diǎn)，

的斜率又可寫(xiě)為，

故，故，解得：，

故直線l的斜率為，

故l的方程是：；

Ⅱ判斷：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是0，

下面證明恒成立，

，故，

若在遞減，則，

因此，要證明對(duì)恒成立，

只需證明對(duì)恒成立，

考慮等價(jià)于，

記，，

先看，，

令，解得：，

令，解得：，

故在遞減，在遞增，

，

再看，.

令，解得：，

令，解得：，

故在遞增，在遞減，

.

，且兩個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)不在同一個(gè)x處，

故對(duì)恒成立，

綜上，對(duì)恒成立，

故函數(shù)函數(shù)零點(diǎn)是0個(gè)．