Question

18．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）（0＜a＜1）函數(shù)y=g（x）圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）寫出函數(shù)g（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）-g（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）若x∈[0，1）時(shí)，總有f（x）+g（x）≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求出解析式g（x）=-f（-x）；
（2）利用奇偶性定義確定函數(shù)f（x）-g（x）為偶函數(shù)；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）+g（x）的最大值．

解答 解：（1）∵g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，
∴g（x）=-f（-x）=-log_a（-x+1），
即，g（x）=log_a$\frac{1}{1-x}$，x＜1；
（2）記h（x）=f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a$\frac{1}{1-x}$
即h（x）=log_a（1+x）（1-x）=log_a（1-x²），x∈（-1，1），
而h（-x）=log_a[1-（-x）²]=log_a（1-x²）=h（x），
所以，h（x）為偶函數(shù)，即f（x）-g（x）為偶函數(shù)；
（3）記u（x）=f（x）+g（x）=log_a（1+x）+log_a$\frac{1}{1-x}$=log_a$\frac{1+x}{1-x}$，x∈[0，1），
∵f（x）+g（x）≤m恒成立，∴m≥[log_a$\frac{1+x}{1-x}$]_max，
而u（x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$=log_a（-1+$\frac{2}{1-x}$），
當(dāng)a∈（0，1），x∈[0，1）時(shí)，u（x）單調(diào)遞減，
所以，u（x）_max=u（0）=log_a1=0，
因此，m≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷與證明，以及運(yùn)用單調(diào)性求函數(shù)最值，屬于中檔題．