Question

設a為正實數，函數f（x）=ae^x（e為自然對數的底數）的圖象與y軸的交點為A，函數g（x）=ln

x

a

的圖象與x軸的交點為B，若點A到函數g（x）的圖象上的任意一點的線段長的最小值為|AB|．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）對任意x＞0且x≠1，

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,指數函數綜合題

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）由題意求出A（0，2a）、B（a，0），由|AB|取到最小值的條件求出a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=lnx，代入

x-m

g(x)

＞

x

化簡，對x分類討論，分別化簡不等式，并構造函數h（x），利用導數判斷出h（x）的單調性并求出最值，再求出實數m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得f（0）=a•e⁰=a，則A（0，a），
由g（x）=ln

x

a

=0解得x=a，則B（a，0），
若使A到B的長度為A到另一條曲線上任意點間距離的最小值，
則直線AB必垂直于曲線y=g（x）在B點的切線，
又g′（x）=

a

x

×

1

a

=

1

x

，kAB=

a-0

0-a

=-1，
所以

1

a

×(-1)=-1，解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，g（x）=lnx，則

x-m

g(x)

＞

x

為：

x-m

lnx

＞

x

，
當x＞1時，

x-m

lnx

＞

x

等價于x-m＞

x

lnx，即m＜x-

x

lnx，
令h（x）=x-

x

lnx（x＞1），
則h′（x）=1-

1

2 x

lnx-

x

×

1

x

=1-

lnx+2

2 x

＞0，
所以函數h（x）在（1，+∞）是增函數，h（x）＞h（1）=1，即m≤1；
當0＜x＜1時，

x-m

lnx

＞

x

等價于x-m＜

x

lnx，即m＞x-

x

lnx，
令h（x）=x-

x

lnx（0＜x＜1），同理h′（x）=1-

lnx+2

2 x

＜0，
所以函數h（x）在（0，1）是減函數，h（x）＜h（0），即m≥0；
綜上得，實數m的取值范圍是[0，1]．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調性、最值的關系，以及不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，考查轉化思想和構造法，屬于中檔題．